Hallo und herzlich willkommen zum letzten Video oder vermeintlich letzten Video in

der Vorlesung Mathematik für Physikstudierende C.

Dieses Video bildet auch den Abschluss vom Kapitel Funktionentheorie und ist insbesondere

nicht mehr klausurrelevant, weil es schon außerhalb des Vorlesungszeitraums veröffentlicht

wird. Nichtsdestotrotz ist die Mathematik, die wir heute machen, noch ganz interessant

und relevant. Also sie ist vielleicht nicht klausurrelevant, aber das ist meistens der

ganz relevante Stoff dann eigentlich. Und zwar kümmern wir uns um den Residuansatz und

um Polstellen bzw. ganz allgemein Singularitäten von Funktionen. Genau darum soll es heute

gehen als Überschrift Singularität und der Residuansatz.

Gut, dann was soll eine Singularität sein? Wir betrachten wieder Funktionen und jetzt

nehmen wir einzelne Punkte raus. Wir betrachten jetzt praktisch eine Menge, nehmen aus der

einen Punkt raus und das wird dann unsere Singularität sein. Und da gibt es verschiedene Klassen.

Es sei wieder U, Teilmenge C offen und F von U ohne P nach C holomorph, weil eben P aus

U liegt. Also wir haben hier eine Menge U und da nehmen wir genau einen Punkt P raus.

Da ist die Menge holomorph. Dieses P nennen wir dann Singularität und wir sagen P heißt

schiefbare Singularität, falls eine Funktion, eine holomorphe Funktion, eine holomorphe

Funktion F Schlange von U nach C existiert, die F praktisch fortsetzt, sodass F Schlange

von Z gleich F von Z auf U ohne P. Das ist einfach der hebbare Fall. Da haben wir P einfach

rausgenommen aus dem Definitionsbereich, aber wir können P dazu nehmen und einen Wert finden,

sodass diese F Schlange dann eine holomorphe Funktion ist. Das nennt man hebbare Singularität.

Die sind besonders gutartig, da passiert gar nichts. Dann sagen wir P heißt Pol der Ordnung

K aus N, also wirklich natürlichen Zahlen, Null wollen wir da jetzt nicht zulassen, falls,

jetzt multiplizieren wir da ein Polynom vorne dran, Z minus P hoch K, F von Z, also die Abbildung

von Z wird abgebildet darauf. P heißt Pol der Ordnung K, falls Z minus hebbare Singularität

bei P hat. Was ist da die Idee? Naja, wir wissen ja, so Funktionen, kurze Gedankenblase,

Funktionen 1 durch Z minus P hoch K zum Beispiel, so rationale Funktionen, da wissen wir ja gerade,

wenn wir das dazu multiplizieren, dann können wir diese Polstelle dadurch wegheben. Und genau das

ist die Idee hier, dass wenn die Funktion F in P gerade nicht definiert werden kann, weil es gegen

unendlich abhaut, aber ebenso rational heißt durch ein Polynom geteilt, dann nennen wir es Pol und P

heißt wesentlich, wesentlich sonst. Okay, und die erste Intuition hat man, die man irgendwie hat,

ist für eine hebbare Singularität, da passiert irgendwie gar nichts, da passiert gar nichts

Schlimmes mit der Funktion F. Bei einer Polstelle haut die Funktion irgendwie kontrollierbar nach

unendlich oder minus unendlich ab, das ist die Geschichte hier. Und bei einer wesentlichen

Singularität passiert irgendwas komisches, das werden wir uns später noch anschauen. Aber wir

wissen schon mal, damit wenn die Funktion auf U ohne P, in rein Intuitiv beschränkt bleiben würde,

heißt wenn sie nicht abhaut oder auch nicht irgendwie was komisches macht gegen minus und plus und

endlich, dann würden wir sagen naja, was soll dann passieren, dann muss sie eigentlich heber sein. Und

das ist auch so und das ist der Riemannsche Hebbarkeitssatz. Das erste was wir mal feststellen,

also Theorem Riemannsche Hebbarkeitssatz. Und der sagt uns eben genau, wenn wir so eine Funktion

auf U ohne P haben, die beschränkt ist, dann ist die Singularität, die wir da haben, heber.

Beziehungsweise muss die Funktion nicht mal überall beschränkt sein, sondern nur in der Umgebung von

der Singularität natürlich. Also es sei F von U ohne P nach C holomorph und es existieren offene

Umgebung, V Teilmenge U, P Element V, sodass F auf V beschränkt ist. Genau das was wir uns

überlegt hatten. Daraus folgt P ist Hebbar oder Hebbare Singularität. Okay, das werden wir auch

beweisen und zwar Beweis. Wir setzen jetzt mal der Einfachheit halber an, dass P gleich null ist. Das

ist deshalb ohne Beschränkung der allgemeinen Hand, weil wir durch eine Translation im Argument

bekommen wir das immerhin, indem wir F einfach rumschiften. Dann definiere G von Z wird definiert

als Z² mal F von Z. Also wir multiplizieren jetzt einen quadratischen Teil an F vorne ran,

falls Z ungleich 0, also in P, und 0 sonst. Was wir dann einmal sehen, ist dass der Limits Z gegen

0, G von Z ist 0, weil das hier geht gegen 0 und das ist ja beschränkt in einer offenen Umgebung